Matematika : Persamaan Garis Lurus

Sebelum membahas tentang persamaan garis lurus, yang harus dipelajari terlebih dahulu adalah Gradien. Apa itu Gradien ? Gradien adalah kemiringan garis. Gradien adalah Kecolongan dari sebuah garis lurus. Gradien dilambangkan dengan huruf " m ". Gradien juga memiliki rumus yaitu

 
 
 

Dimana perubahan sisi tegak adalah y dan perubahan sisi mendatar adalah x. Jadi dapat juga dinyatakan sebagai berikut.

 m = y/x ( / adalah per ).

Persamaan garis lurus memiliki 2 bentuk, yakni eksplisit dan implisit. Yang paling umum dipakan adalah eksplisit.

Bentuk eksplisit  -> y = mx = c
Bentuk implisit -> y + mx + c = 0

Dimana y adalah variabelnya, m adalah gradien ( bisa positif, negative, dan pecahan ), x adalah variabel, serta c adalah kontanta.

Note :Bila m pada persamaan garis itu positif SUDAH PASTI menuju ke arah kanan atas. Contohnya y = 2x + 6. Dan bila m pada persamaan garis itu negative SUDAH PASTI menuju ke arah kiri atas. Contohnya y = -2x + 3. Pada persamaan garis tidak bisa 0 Karena bila itu terjadi maka tidak ada suatu kemiringan garis.

Persamaan garis yang sejajar memiliki m yang sama. Biasanya bila garis itu sejajar diberi tanda //. Serta persamaan garis yang tegak lurus itu berlaku m1. m2 = -1.

A. Pesamaan garis melalu 1 titik.

Pada persamaan garis ini memiliki rumus, yakni :

y - y1 = m ( x - x1 )

Di soal biasanya diberi tau titik, seperti contoh ( 2,-3 ). Angka 2 disitu berlaku sebagai x1 dan -3 sebagai y1. Jadi pada setiap titik selalu ditulis ( x, y ).

B. Persamaan garis melalui 2 titik.

Pada persamaan garis ini berlaku rumus, yakni







Latihan Soal

1. Diberikan 4 buah garis dalam koordinat cartesius seperti terlihat pada gambar berikut.
Tentukan gradien dari keempat garis pada gambar di bawah !


I) Titik 1 adalah (x1, y1) = (3, 0) dan titik 2 (x2, y2) = (0, 6)



Bagaimana jika titik 1 dan 2 nya diambil secara berkebalikan ?

   Titik 1 adalah (x1, y1) = (0, 6) dan titik 2 (x2, y2) = (3, 0)



Ternyata hasilnya adalah sama, jadi ambil saja sembarang tak perlu pusing dengan mana titik satu mana titik 2.

II) (0, 6) dan (−3, 0)



III)(−3, 0) dan (0, −6)



IV) (3, 0) dan (0, −6)


2. Tentukan persamaan garis yang memiliki gradien 3 dan melalui titik:

 a) (3, 6)

y-y1 = m(x-x1)
y-6 = 3(x-3)
y-6 = 3x-9 ( distributif )
y = 3x-9+6 ( tukar ruas )
y = 3x-3 ( eksplisit )
y-3x+3 = 0 ( implisit )

 b) (-4, 5)

y-y1 = m(x-x1)
y-5 = 3(x+4)( -x-=+ )
y-5 = 3x+12 ( distributif )
y = 3x-9+6 ( tukar ruas )
y = 3x-3 ( eksplisit )
y-3x+3 = 0 ( implisit )


3. Tentukan gradien dari persamaan garis-garis berikut:

a) y = 3x+2

Pola persamaan garis adalah y = mx + C
Sehingga gradien garisnya m = 3

b) 10x−6y+3 = 0

Ubah persamaan b menjadi pola y = mx + c
6y = 18x + 24 ( dibagi 6 )
y = 3x + 4
Sehingga gradien garisnya m = 3


4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan sejajar dengan garis y = 2x + 5 !

Dua buah garis yang sejajar memiliki syarat gradiennya harus sama atau
m₁ = m₂

Gradien garis y = 2x + 5 adalah 2, sehingga gradien garis yang akan dicari juga 2 karena mereka sejajar. Sehingga
y − y₁ = m(x − x₁)
y − 1 = 2 (x − 3)
y − 1 = 2x − 6
y = 2x − 6 + 1
y = 2x − 5

5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan tegak lurus dengan garis y = 2x + 5 !

Dua buah garis saling tegak lurus jika memenuhi syarat sebagai berikut
m₁ ⋅ m₂ = −1

y = 2x + 5 memiliki gradien m1 = 2, sehingga garis yang akan dicari persamaannya harus memiliki gradien
m₁ ⋅ m₂ = −1
2 ⋅ m₂ = −1
m₂ = − 1/2

Tinggal disusun persamaan garisnya
y − y₁ = m(x − x₁)
y − 1 = ¹/₂(x − 3)
y − 1 = ¹/₂ x − 3/2
y = ¹/₂ x − ³/₂ + 1
y = ¹/₂ x − ¹/₂